Die Mathematik hinter dem schicksalhaften Dienstag, dem 13., wie morgen

Der Ursprung dieses Aberglaubens ist, wie der vieler Legenden, nicht klar. Je nach Interesse der Person, die es erzählt, finden wir historische, religiöse, soziale Argumente, sicherlich auch politische, allesamt kurios, aber ohne jede logische Grundlage. Oder gab es an anderen Tagen als am Dienstag, dem 13., keine Unglücke und Katastrophen? Und wenn man statistische Daten heranzieht, hat es sicherlich noch viel schlimmere Daten in der Geschichte gegeben. Trotzdem können wir nicht leugnen, dass dieser Glaube seit jeher in unseren Bräuchen eingedrungen ist und in Kraft geblieben ist, und dass dies als Vorschlag für die Analyse einiger Probleme aus mathematischer Sicht dienen kann.

Vor ein paar Wochen hörte ich im Radio eine Unterhaltungssendung, die als Kuriosität über den Dienstag und den 13. eingestuft wurde, da dieser Monat, wie der fragliche, diese Besonderheit aufwies. Und was sie am Ende „enthüllten“, als ob etwas Großartiges und Transzendentales entdeckt worden wäre, ist, dass es immer, wenn der erste Tag des Monats ein Donnerstag ist, einen Dienstag und dreizehn geben wird.

Dann kamen mir mehrere Fragen in den Sinn. Was liefern diese Daten? Wenn ich mir einen Kalender ansehen muss, wenn Donnerstag, der 1., ist, fällt es mir genauso schwer zu überprüfen, ob es einen Dienstag, den 13., gibt. Außerdem wissen wir doch alle, wie man zwölf Zahlen zählt, oder? Daher ist diese Aussage genauso wertvoll wie die Aussage, dass, wenn der 2. auf Freitag fällt, ein Dienstag, der 13., sein wird. Oder wenn der Samstag auf den 3. fällt. Ist es notwendig, den Prozess weiter zu wiederholen? Nachdem ich mich von der Nutzlosigkeit der Daten überzeugt hatte, fragte ich mich: Was wäre wirklich interessant gewesen, wenn der Journalist uns vom Dienstag, dem 13., erzählt hätte? Mir fielen einige Alternativen ein, zum Beispiel, ob jedes Jahr einen Dienstag, den 13., hat oder wie viele es höchstens sein können. Aber natürlich sollten wir uns nicht nur darauf beschränken, die Daten zu kennen (eine einfache Abfrage im Internet gibt uns die Antwort), denn sobald wir sie hören, vergessen wir sie. Hier ist es wichtig zu wissen, warum es so viele gibt oder wie viele. Und dafür braucht man einen Beweis, einen strengen Beweis, und zwar nicht zu kompliziert, obwohl die Komplexität von etwas auch eine eher subjektive Vorstellung ist und, wenn nicht, gleichzeitig.

Beginnen wir damit, den Grundstein so elementar wie möglich zu legen. Eine Woche hat 7 Tage, da sind wir uns alle einig und man hat nicht viel zu bedenken. Wir haben 365 Tage im Jahr (oder 366, wenn es ein Schaltjahr ist). Und Sie werden mir zustimmen, dass es ermüdend und langweilig ist, den 1. Januar auf einen Montag zu legen und zu sehen, wie viele Dienstage, den 13., in diesem hypothetischen Jahr vorkommen. Langweilig, weil wir später dasselbe machen müssen, wenn es am Dienstag, dann am Mittwoch und so weiter bis Sonntag beginnt (die Reihenfolge ist egal, wir hätten aber auch am Sonntag beginnen können, der eigentlich der erste Tag der Woche ist). unser Brauch ist anders). Für jeden (und noch mehr für Mathematiker) ist diese Aufgabe äußerst mühsam. Wir wissen, dass es das Problem löst, aber es ist das, was wir im Fachjargon „mit roher Gewalt“ nennen (was Computer tun; sie schlagen uns an Geschwindigkeit, aber nicht an Intelligenz). Um effizient rechnen zu können, stehen uns andere Werkzeuge wie die Modulo-7-Kalküle (oder in Basis 7; Kongruenzen, modulare Arithmetik, über die wir bereits bei anderen Gelegenheiten gesprochen haben) zur Verfügung.

Berechnen wir, auf welchen Tag des Monats sie fallen, indem wir sie von 0 bis 6 nummerieren, den 13. Tag des ganzen Jahres. Bis zum 13. Januar sind seit Jahresbeginn 13 Tage vergangen. Das ist bestätigt

13 ≡ 6 modulo 7

Das bedeutet, dass sowohl die Zahl 13 als auch die Zahl 6 den gleichen Rest haben, wenn sie durch 7 dividiert werden. Eine schnelle Möglichkeit, dies zu überprüfen ist, dass 13 – 6 ein Vielfaches von 7 ist. Daher streben wir den Januar als 6 an. Schauen wir uns nun den 13. Februar an. Die Anzahl der Tage, die seit Jahresbeginn bis zum 13. Februar vergangen sind, beträgt 31 Tage im Januar plus 13 Tage im Februar, also 31 + 13 = 44 Tage. Wie zuvor subtrahieren wir das nächste Vielfache von 7 von 44, also 42. Also

44 ≡ 2 Modulo 7

Deshalb schreiben wir für Februar eine 2. Der nächste ist der 13. März, der Tag Nummer 31 + 28 + 13 des Jahres, also 72. Das nächste Vielfache von 7 bis 72 ist 70, also 72 – 70 = 2, also

72 ≡ 2 Modulo 7

Denken wir an den 13. April. Bis zu diesem Tag sind 31 + 28 + 31 + 13 Tage vergangen, also 103 Tage. Der Rest der Division von 103 durch 7 ist also 5

103 ≡ 5 Modulo 7

Wenn wir auf diese Weise mit allen Monaten des Jahres fortfahren, finden wir die folgende Abfolge von Überresten

6, 2, 2, 5, 0, 3, 5, 1, 4, 6, 2, 4

Für ein Schaltjahr (Sie wissen, der Februar hat einen Tag mehr, also addieren wir ab März eine Einheit zu den vorherigen Zahlen) wäre die Reihenfolge:

6, 2, 3, 6, 1, 4, 6, 2, 5, 7, 3, 5

Beachten Sie, dass in der ersten Sequenz alle Zahlen von 0 bis 6 mindestens einmal vorkommen. Das bedeutet, dass in einem normalen 365-Tage-Jahr die Zahl 13 an jedem Wochentag und mindestens einmal im Jahr fallen kann. Mit anderen Worten: Jedes Jahr gibt es mindestens einen Dienstag, den 13. Es gibt aber auch einen Montag, den 13., einen Mittwoch, den 13., einen Donnerstag, den 13., einen Freitag, den 13., einen Samstag, den 13., und einen Sonntag, den 13.. Zwölf Ausgaben eines ganzen Jahres? (Ich sehe bereits Ungläubige, die sich einen oder mehrere Kalender holen, um einen Blick darauf zu werfen). Aber damit ist die Sache noch nicht getan. Welche Zahl wird am häufigsten wiederholt? Tatsächlich wird 2 dreimal wiederholt. Das bedeutet, dass ein Jahr höchstens drei Dienstage und 13 haben kann. Und diese liegen in den Monaten Februar, März und November (die Positionen dieser Nummer 2).

Wir werden diese Zahlenfolgen mit einem bestimmten Jahr, zum Beispiel 1965, interpretieren, die wir im Bild sehen.

Es ist kein Schaltjahr, also nehmen wir die erste Sequenz. Für Januar haben wir eine 6, eine Zahl, die sich im Oktober wiederholt. Das würde bedeuten, dass im Januar und Oktober der 13. am selben Wochentag wäre. Im Jahr 1965 war es ein Mittwoch. Also setzen wir die Zahl 6 am Mittwoch wie folgt:

Wenn wir dann die restlichen Zahlen ab 6 platzieren (nach 6 würde 0 stehen), haben wir

Die nächste Zahl in der Reihenfolge, 2, erscheint an den Stellen, die den Monaten Februar, März und November entsprechen. Nach der bisherigen Aufgabenstellung wäre es Samstag. Wenn man auf den Kalender schaut, ist es tatsächlich so. Daher informieren uns diese Sequenzen für normale Jahre bzw. für Schaltjahre darüber, wann der 13. Tag in einem Jahr fällt. Sie können es mit dem gewünschten Jahr überprüfen.

Aber die Fragen, die wir uns stellen können, enden hier nicht. Beispielsweise beträgt die Höchstzahl von Dienstag, dem 13., in einem Schaltjahr ebenfalls drei, da es drei Sechser gibt. Jetzt erscheint die Zahl 0 nicht. Was würde das bedeuten? Ist die offengelegte Argumentation nützlich, um Freitag, den 13., unserer angelsächsischen Freunde zu entdecken? Wenn es nicht funktionierte, was sollten wir ändern?

lose Enden zusammenbinden

In meinem vorherigen Rückblick in diesem Abschnitt über das Multiversum und die Gewinnerkontroverse bei den vergangenen Hollywood-Oscars blieben ein paar Fragen in der Luft, die ich im Folgenden klären möchte. Einer war der Meinung, dass mir ein Leser vorwarf, ich hätte den ganzen Film nicht gesehen. Nun, sobald die „Hausaufgaben“ erledigt sind, bestätige ich, was ich a priori gedacht habe: Es ist nicht so schlecht, wie viele behaupten (obwohl es zweifelhaft ist, dass es die immer kritisierte Serie B erreichen würde), aber was absoluter Unsinn ist, ist, dass es die Auszeichnungen monopolisiert hat es hatte (persönliche Meinung natürlich). Was mir am meisten (auch negativ) aufgefallen ist, ist der Ton bestimmter Szenen: Es ist schwer zu sagen, ob man eine Komödie, etwas Ernstes, etwas Science-Fiction usw. sieht, manchmal scheint es, als würden die Charaktere selbst lachen ihre Köpfe einschlagen und uns deshalb veräppeln.

Aus mathematischer Sicht wurde eine Herausforderung gestellt, die niemand lösen wollte (oder wusste, obwohl ich das nicht glaube, weil es relativ einfach ist): Finden Sie ein Zeichen mit dem Aspekt xyz im Basis-7-Universum ” und dass beim Passieren der Basis 9 „Universum“ als Zyx erscheint. Sein Erscheinen war in unserer Dezimalwelt erwünscht. Mal sehen, wie es ermittelt werden kann:

Lassen Sie uns von dieser Gleichheit ausgehen. Welchen Wert muss y annehmen? Es kann kein anderer Wert als 0 sein, da x, y, z ganze Zahlen kleiner als 6 sind und der Faktor 8 des ersten Elements (was durch Division des zweiten entstehen würde) uns zu einem Bruch führen würde (einer rationalen Zahl, nicht einer ganze Zahl). Und da y = 0, wie kann dann 3x – 5z = 0 sein? Es gibt nur zwei Möglichkeiten. Dass x = z = 0 ist, was absurd ist, denn dann wäre die Zahl 000, was offensichtlich keine dreistellige Zahl ist; oder dass x = 5, z = 3. Dann ist die Zahl zur Basis 7 503, zur Basis 9 305 und zur Dezimalbasis, was wie gewünscht ist, 248.

Abschließend möchte ich darauf hinweisen, dass in dieser Rezension ein eklatanter mathematischer Fehler vorliegt, der offenbar niemand bemerkt hat oder zumindest niemand dazu Stellung genommen hat. Wagen Sie es, es zu finden?

Das ABCdario de las Matemáticas ist ein Abschnitt, der aus der Zusammenarbeit mit der Verbreitungskommission der Royal Spanish Mathematical Society (RSME) hervorgegangen ist.