Die langweiligste Nummer der Welt ist …

Was ist deine Lieblingsnummer? Viele Menschen haben vielleicht eine irrationale Zahl im Sinn, wie Pi (π), die Euler-Zahl (e) oder die Quadratwurzel aus 2. Aber auch unter den natürlichen Zahlen finden sich Werte, die einem in den unterschiedlichsten Zusammenhängen begegnen: die sieben Zwerge, die sieben Todsünden, die 13 als Unglückszahl – und die populär gewordene 42 durch den Roman Der Per Anhalter durch die Galaxis von Douglas Adams.

Was ist mit einem größeren Wert wie 1.729? Die Zahl erscheint den meisten sicher nicht besonders spannend. Auf den ersten Blick scheint es geradezu langweilig zu sein. Schließlich ist sie weder eine Primzahl noch eine Zweierpotenz noch eine Quadratzahl. Die Ziffern folgen auch keinem offensichtlichen Muster. Das dachte sich der Mathematiker Godfrey Harold Hardy (1877–1947), als er in ein Taxi mit der Identifikationsnummer 1729 stieg. Er besuchte damals seinen kranken Kollegen Srinivasa Ramanujan (1887–1920) im Krankenhaus und erzählte ihm von der „ langweilige Taxinummer. Er hoffte, dass es kein schlechtes Omen war. Ramanujan widersprach seinem Freund sofort: „Es ist eine sehr interessante Nummer; es ist die kleinste Zahl, die sich auf zwei verschiedene Arten als Summe zweier Kubikzahlen ausdrücken lässt.“

Jetzt fragen Sie sich vielleicht, ob es überhaupt eine Zahl geben kann, die nicht interessant ist. Diese Frage führt schnell zu einem Paradoxon: ob es wirklich einen Wert gibt N das keine spannenden Eigenschaften hat, dann macht es gerade diese Tatsache zu etwas Besonderem. Aber es gibt tatsächlich eine Möglichkeit, die interessanten Eigenschaften einer Zahl auf ziemlich objektive Weise zu bestimmen – und zur großen Überraschung der Mathematiker legten Untersuchungen im Jahr 2009 nahe, dass sich natürliche Zahlen (positive ganze Zahlen) in zwei klar definierte Lager aufteilen: aufregende und langweilige Werte.

Eine umfassende Enzyklopädie der Zahlenfolgen bietet eine Möglichkeit, diese beiden gegensätzlichen Kategorien zu untersuchen. Die Idee zu einer solchen Zusammenstellung hatte der Mathematiker Neil Sloane 1963, als er an seiner Doktorarbeit schrieb. Damals musste er die Höhe von Werten in einer Art Graphen namens Baumnetz berechnen und stieß dabei auf eine Zahlenfolge: 0, 1, 8, 78, 944, … Rechnen konnte er noch nicht Zahlen in dieser Reihenfolge genau und hätte gerne gewusst, ob seine Kollegen bei ihren Recherchen schon auf eine ähnliche Reihenfolge gestoßen sind. Aber anders als bei Logarithmen oder Formeln gab es für Zahlenfolgen kein Register. Und so veröffentlichte Sloane 10 Jahre später seine erste Enzyklopädie, Ein Handbuch ganzzahliger Folgen, die etwa 2.400 Sequenzen enthielt, die sich auch bei bestimmten Berechnungen als nützlich erwiesen. Das Buch fand großen Anklang: „Da ist das Alte Testament, das Neue Testament und das Handbuch ganzzahliger Folgen“, schrieb ein begeisterter Leser, laut Sloane.

In den Folgejahren erreichten Sloane zahlreiche Einreichungen mit weiteren Zahlenfolgen, außerdem erschienen wissenschaftliche Arbeiten mit neuen Zahlenfolgen. Dies veranlasste den Mathematiker 1995 zusammen mit seinem Kollegen Simon Plouffe zur Veröffentlichung Der Enzyklopädie ganzzahliger Folgen , die rund 5.500 Sequenzen enthielt. Der Inhalt wuchs unaufhörlich, aber das Internet machte es möglich, die Datenflut zu kontrollieren: 1996 erschien die Online Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) in einem Format, das keinerlei Beschränkungen hinsichtlich der Anzahl der aufzeichenbaren Folgen aufwies. Ab März 2023 enthält es etwas mehr als 360.000 Einträge. Einreichen kann jeder: Wer einen Beitrag einreicht, muss lediglich erklären, wie die Sequenz entstanden ist und warum sie interessant ist, sowie Beispiele zur Erklärung der ersten Begriffe liefern. Gutachter prüfen dann den Eintrag und veröffentlichen ihn, wenn er diese Kriterien erfüllt.

Neben bekannten Folgen wie den Primzahlen (2, 3, 5, 7, 11,…), Zweierpotenzen (2, 4, 8, 16, 32,…) oder der Fibonacci-Folge (1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, …), enthält der OEIS-Katalog auch exotische Beispiele wie die vielen Möglichkeiten, einen stabilen Turm zu bauen N zwei mal vier besetzte Legosteine, (1, 24, 1.560, 119.580, 10.166.403, …) oder die „Lazy Caterer’s Sequenz“ (1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, …) ), die maximale Anzahl von Tortenstücken, die erreicht werden können N Schnitte.

Da etwa 130 Personen die eingereichten Zahlenfolgen begutachten und die Liste mit diesen offensichtlichen Kandidaten seit mehreren Jahrzehnten existiert und in der mathematikaffinen Community durchaus bekannt ist, soll die Sammlung eine objektive Auswahl aller Zahlenfolgen sein. Damit eignet sich der OEIS-Katalog für die Untersuchung der Popularität von Zahlen. Je öfter also eine Zahl in der Liste auftaucht, desto interessanter ist sie.

Das dachte sich zumindest Philippe Guglielmetti, der den französischsprachigen Blog Dr. Goulu betreibt. In einem Beitrag erinnerte Guglielmetti an die Behauptung eines ehemaligen Mathematiklehrers, dass 1.548 eine willkürliche Zahl ohne besondere Eigenschaft sei. Diese Nummer erscheint tatsächlich 326 Mal im OEIS-Katalog. Ein Beispiel: Es zeigt sich als „eventuelle Periode einer einzelnen Zelle in Regel 110 eines zellularen Automaten in einem zyklischen Universum der Breite N.“ Auch Hardy lag falsch, als er die Taxinummer 1729 als langweilig bezeichnete: 1.729 taucht 918 Mal in der Datenbank (und auch häufig in der TV-Show) auf Futurama).

Also machte sich Guglielmetti auf die Suche nach wirklich langweiligen Nummern: solchen, die kaum oder gar nicht im OEIS-Katalog auftauchen. Letzteres ist beispielsweise bei der Zahl 20.067 der Fall. Seit März ist es die kleinste Zahl, die in keiner der vielen hinterlegten Zahlenfolgen vorkommt. (Das liegt aber nur daran, dass die Datenbank nur die ersten etwa 180 Zeichen einer Zahlenfolge speichert – sonst würde jede Zahl in der Liste der positiven ganzen Zahlen des OEIS erscheinen.) Der Wert 20.067 erscheint also ziemlich langweilig. Dagegen gibt es sechs Einträge für die Zahl 20.068, die darauf folgt.

Aber es gibt kein universelles Gesetz für langweilige Zahlen, und der Status von 20.067 kann sich ändern. Vielleicht wurde beim Schreiben dieses Artikels eine neue Sequenz entdeckt, in der 20.067 unter den ersten 180 Zeichen erscheint. Dennoch eignen sich die OEIS-Einträge für eine bestimmte Nummer als Maß dafür, wie interessant diese Nummer ist.

Guglielmetti ließ für die natürlichen Zahlen die Anzahl aller Einträge der Reihe nach ausgeben und trug das Ergebnis grafisch auf. Er fand eine Punktwolke in Form einer breiten Kurve, die zu großen Werten hin abfällt. Dies ist insofern nicht verwunderlich, als nur die ersten Mitglieder einer Sequenz im OEIS-Katalog gespeichert sind. Überraschend ist jedoch, dass die Kurve aus zwei Bändern besteht, die durch eine deutlich sichtbare Lücke getrennt sind. So taucht eine natürliche Zahl entweder besonders häufig oder äußerst selten in der OEIS-Datenbank auf.

Fasziniert von diesem Ergebnis wandte sich Guglielmetti an den Mathematiker Jean-Paul Delahaye, für den er regelmäßig populärwissenschaftliche Artikel schreibt Für die Wissenschaft, Wissenschaftlicher Amerikaner‘s französischsprachige Schwesterpublikation. Er wollte wissen, ob Experten dieses Phänomen bereits untersucht hätten. Dem war nicht so, also hat Delahaye das Thema mit seinen Kollegen Nicolas Gauvrit und Hector Zenil aufgegriffen und genauer untersucht. Sie verwendeten Ergebnisse aus der algorithmischen Informationstheorie, die die Komplexität eines Ausdrucks anhand der Länge des kürzesten Algorithmus misst, der den Ausdruck beschreibt. Beispielsweise ist eine beliebige fünfstellige Zahl wie 47.934 schwieriger zu beschreiben („die Ziffernfolge 4, 7, 9, 3, 4“) als 16.384 (2¹⁴). Zahlen mit vielen Eigenschaften haben nach einem Satz der Informationstheorie meist auch eine geringe Komplexität. Das heißt, die Werte, die häufig im OEIS-Katalog erscheinen, sind am wahrscheinlichsten einfach zu beschreiben. Delahaye, Gauvrit und Zenil konnten zeigen, dass die Informationstheorie einen ähnlichen Verlauf für die Komplexität natürlicher Zahlen vorhersagt, wie er in Guglielmettis Kurve gezeigt wird. Aber das erklärt nicht das klaffende Loch in dieser Kurve, das nach Neil Sloane als „Sloane’s Gap“ bekannt ist.

Die drei Mathematiker schlugen vor, dass die Lücke durch soziale Faktoren wie die Präferenz für bestimmte Zahlen entsteht. Um dies zu untermauern, führten sie eine sogenannte Monte-Carlo-Simulation durch: Sie entwarfen eine Funktion, die natürliche Zahlen auf natürliche Zahlen abbildet – und zwar so, dass kleine Zahlen häufiger ausgegeben werden als größere. Die Forscher setzten zufällige Werte in die Funktion und zeichneten die Ergebnisse entsprechend ihrer Häufigkeit auf. Dies erzeugte eine unscharfe, abfallende Kurve ähnlich der der Daten im OEIS-Katalog. Und wie bei der informationstheoretischen Analyse ist von einer Lücke keine Spur.

Um besser zu verstehen, wie die Lücke entsteht, muss man sich ansehen, welche Zahlen in welches Band fallen. Für kleine Werte bis etwa 300 ist Sloane’s Gap nicht sehr ausgeprägt. Erst bei größeren Zahlen öffnet sich die Lücke deutlich: Etwa 18 Prozent aller Zahlen zwischen 300 und 10.000 liegen im „interessanten“ Bereich, die restlichen 82 Prozent gehören zu den „langweiligen“ Werten. Wie sich herausstellt, umfasst das interessante Band etwa 95,2 Prozent aller Quadratzahlen und 99,7 Prozent der Primzahlen sowie 39 Prozent der Zahlen mit vielen Primfaktoren. Diese drei Klassen machen bereits fast 88 Prozent des interessanten Bandes aus. Die restlichen Werte haben markante Eigenschaften wie 1111 oder die Formeln 2^N + 1 und 2^N– 1.