Wenn wir eine bestimmte Anzahl von Ziffern als Antwort hätten, wäre es keine unendliche Zahl mehr. Das wirklich Wichtige, wenn wir über unendliche Zahlen sprechen, ist, dass sie kein Ende haben werden. Wenn wir also beispielsweise eine Million Ziffern sagen, ist diese Zahl bereits endlich, da wir immer daran denken können, eine weitere Ziffer hinzuzufügen. Aber die Frage ist sehr sinnvoll und hat im Laufe der Geschichte der Mathematik zu verschiedenen Paradoxien geführt.
Die Vorstellung von Unendlichkeit ist relativ neu und liegt zum Teil an unserem Zahlensystem. Zivilisationen wie die Ägypter oder die Azteken mit nicht-positionellen Zahlensystemen betrachteten niemals Mengen größer als bestimmte Werte, da sie nicht einmal über Symbole verfügten, die es ihnen ermöglichten, diese Mengen darzustellen, und daher geschah das Gleiche mit dem Konzept von unendlich. Die Unendlichkeit lag jedoch implizit Positionssystemen wie unserem Zahlensystem zugrunde, und die Art und Weise, wie Größen dargestellt werden, ist der Schlüssel zur Entwicklung einer intuitiven Vorstellung von Unendlichkeit. Im 20. Jahrhundert stellte der deutsche Mathematiker David Hilbert fest, dass es in der Realität keine Unendlichkeit gibt. Er argumentierte, dass es nicht möglich sei, Materie auf unbestimmte Zeit zu teilen, und dass Unendlichkeit eine notwendige Vorstellung in unserem Denken sein könnte, auch wenn sie in der Realität nicht existiert. Der Begriff der Unendlichkeit schien streng definiert zu sein, war aber weiterhin Anlass für Kontroversen und Paradoxe.
Derzeit unterscheidet Unendlichkeit in der Mathematik zwei Bedeutungen. Die erste davon ist Unendlichkeit, verstanden als etwas, das kein Ende hat, das immer andauern kann und das wir in der Mathematik potentielle Unendlichkeit nennen. Die zweite Möglichkeit besteht darin, die Unendlichkeit als Ganzes zu betrachten, als einen abgeschlossenen Prozess, dessen Grenzen erreicht sind, wobei über die Menge aller Zahlen nachgedacht wird, ohne über jede einzelne von ihnen nachzudenken, was wir aktuelle Unendlichkeit nennen. Aber Sie sollten wissen, dass einige der großen Mathematiker wie der Franzose Augustin Louis Cauchy oder der Deutsche Carl Friedrich Gauß die Existenz dieser gegenwärtigen Unendlichkeit leugneten.
Um auf Ihre Frage zurückzukommen: Wie gesagt, das aktuelle Nummerierungssystem ermöglicht es uns, über das Konzept der Unendlichkeit nachzudenken. Wenn wir in diesem Fall eine Anzahl bestimmter Ziffern haben, was auch immer diese sein mögen, können wir uns immer eine Zahl mit einer weiteren Ziffer vorstellen, sie ist also nicht unendlich. Das heißt, es gibt keinen solchen Wert.
Aber nur weil diese Zahl nicht existiert, heißt das nicht, dass es keine Unendlichkeit gibt. Wenn wir über Zahlen sprechen, können wir immer eine weitere Ziffer hinzufügen, damit sie nicht unendlich ist. Das ist zum Beispiel die Vorstellung, die Gauß hatte. Doch seit dem Ende des 19. Jahrhunderts änderte sich das Konzept. Damals wurde die aktuelle Unendlichkeit vorgeschlagen und bestand darin, die Unendlichkeit als Gesamtheit, als Grenzen zu definieren. Dieser Schritt ermöglicht es uns, die Unendlichkeit mit den Grenzen von Funktionen oder Folgen in Beziehung zu setzen. Wenn wir uns zum Beispiel eine Folge mit geraden Zahlen vorstellen: 2, 4, 6, 8, 10… Diese Folge wächst ins Unendliche und wir können uns immer eine größere Zahl vorstellen. Der Grenzwert dieser Folge ist unendlich. Aber wenn wir an eine Folge denken, die ist: 1, 1/3, 1/4, 1/5… Diese Folge nimmt ab, obwohl sie nicht bis minus Unendlich abnimmt, sondern gegen 0 abnimmt, aber nie 0 erreicht. Wenn wir in den Nenner dieses Bruchs unendlich viele Zahlen setzen könnten, würden wir 0 erreichen, aber wir erreichen ihn nur am Grenzwert, das heißt, die Folge hat einen Grenzwert von 0, wenn der Nenner gegen Unendlich tendiert.
Und mit Funktionen ist es ähnlich; Wenn wir bei Folgen von natürlichen Zahlen sprechen, würden wir bei Funktionen von reellen Zahlen sprechen. Reelle Zahlen sind solche, die es uns ermöglichen, alle Werte auf einer geraden Linie darzustellen, einer unendlichen Linie, die negative und positive Zahlen enthält und unter anderem natürliche Zahlen umfasst. Dies sind diejenigen, mit denen Elemente gezählt werden: 1, 2, 3, 4 … und so weiter bis ins Unendliche.
Monica Arnal Palacián Sie hat einen Abschluss in Mathematik und einen Doktortitel in Pädagogik. Sie ist Professorin an der Universität Saragossa und forscht im Mathematikunterricht.
Frage per E-Mail gesendet vonEngel Gael Romero
Koordination und Schreiben:Victoria Toro
Wir antworten ist eine wöchentliche wissenschaftliche Konsultation, gesponsert von derDr. Stiftung Anthony Steveund das Programm L’Oréal-Unesco „Für Frauen in der Wissenschaft“, das die Fragen der Leser zu Wissenschaft und Technologie beantwortet. Sie sind Wissenschaftler und Technologen, Partner vonAMIT (Association of Women Researchers and Technologists), diejenigen, die diese Zweifel beantworten. Senden Sie Ihre Fragen an[email protected]oder auf Twitter #nosotrasrespondemos.
Du kannst Folgen MATERIE In Facebook, X e InstagramKlicken Sie hier, um es zu erhalten Unser wöchentlicher Newsletter.
