Ein Zahlenrätsel aus dem 19. Jahrhundert wird endlich gelöst – Nautilus

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ichn den frühen 1950er Jahren startete eine Gruppe von Forschern des Institute for Advanced Study ein Hightech-Projekt. Auf Geheiß von John von Neumann und Herman Goldstine programmierte die Physikerin Hedvig Selberg den 1.700 Vakuumröhren-Computer des IAS, um merkwürdige mathematische Summen zu berechnen, deren Ursprünge bis ins 18. Jahrhundert zurückreichen.

Die Summen wurden mit quadratischen Gauß-Summen in Beziehung gesetzt, benannt nach dem berühmten Mathematiker Carl Friedrich Gauß. Gauß würde eine Primzahl wählen pdann summiere Zahlen der Form ex (2iπn2)/p. Seit ihrer Einführung haben sich quadratische Gaußsche Summen als unschätzbar für Aufgaben wie das Zählen von Lösungen für bestimmte Arten von Gleichungen erwiesen. „Es stellt sich heraus, dass Gaußsche Summen magisch sind, dass sie aus Gott weiß welchem ​​Grund einfach wunderbare Dinge tun“, sagte Jeffrey Hoffstein, Mathematiker an der Brown University.

Mitte des 19. Jahrhunderts liebäugelte der deutsche Mathematiker Ernst Eduard Kummer mit einem nahen Verwandten dieser quadratischen Gauß-Summen, bei denen die n2 im Exponenten wird durch an ersetzt n3. Kummer bemerkte, dass sie dazu neigten, in einem überraschenden Maße nahezu bestimmte Werte zu sammeln – eine scharfe Beobachtung, die zu Jahrhunderten der Forschung in der Zahlentheorie führen würde.

Wenn kubische Gauß-Summen nicht in eine einfachere Formel umgearbeitet werden, sind ihre Werte schwer abzuleiten. In Ermangelung einer solchen Formel machte sich Kummer daran, kubische Gaußsummen zu berechnen – und zu rechnen und zu rechnen. „Damals war es für sie üblich, diese heroischen Berechnungen von Hand durchzuführen“, sagte Matthew Young, Mathematiker an der Texas A&M University. Nachdem er 45 Summen durchgepflügt hatte, die den ersten 45 nicht-trivialen Primzahlen entsprachen, gab Kummer schließlich auf.

Kummer betrachtete seine Ergebnisse und bemerkte etwas Interessantes. Theoretisch könnten die Summen alles zwischen –1 und 1 sein (nachdem sie „normalisiert“ wurden – dividiert durch eine geeignete Konstante). Aber als er die Berechnungen durchführte, entdeckte er, dass sie auf seltsame Weise verteilt waren. Die Hälfte der Ergebnisse lag zwischen ½ und 1, und nur ein Sechstel davon lag zwischen –1 und –½. Sie schienen sich um 1 zu gruppieren.

Kummer legte seine Beobachtungen zusammen mit einer Vermutung dar: Wenn es Ihnen irgendwie gelänge, alle unendlich vielen kubischen Gaußsummen zu zeichnen, würden Sie die meisten von ihnen zwischen ½ und 1 sehen; weniger zwischen −½ und ½; und noch weniger zwischen –1 und –½.

Selberg, von Neumann und Goldstine machten sich daran, dies auf ihrem frühen Computer zu testen. Selberg programmierte es, um die kubischen Gaußsummen für alle nicht-trivialen Primzahlen unter 10.000 zu berechnen – insgesamt etwa 600 Summen. (Goldstine und von Neumann würden später die Arbeit verfassen; ihre Beiträge würden am Ende in eine Anerkennungszeile verbannt.) Sie entdeckten, dass die normalisierten Summen mit größer werdenden Primzahlen weniger dazu neigten, sich in der Nähe von 1 zu häufen Als überzeugende Beweise dafür, dass Kummers Vermutung falsch war, begannen Mathematiker zu versuchen, kubische Gauß-Summen auf eine tiefere Weise zu verstehen, die über die bloße Berechnung hinausging.

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Dieser Prozess ist nun abgeschlossen. 1978 wagte der Mathematiker Samuel Patterson eine Lösung für Kummers mathematisches Rätsel, konnte es aber nicht beweisen. Im vergangenen Herbst bewiesen dann zwei Mathematiker des California Institute of Technology Pattersons Vermutung und beendeten damit endlich Kummers Überlegungen aus dem Jahr 1846.

Patterson wurde zum ersten Mal in den 1970er Jahren als Doktorand an der University of Cambridge von dem Problem begeistert. Seine Vermutung wurde durch das motiviert, was passiert, wenn Zahlen zufällig irgendwo zwischen −1 und 1 platziert werden. Wenn Sie addieren N Von diesen Zufallszahlen ist die typische Größe der Summe √N (sie kann positiv oder negativ sein). Wenn kubische Gauß-Summen gleichmäßig von −1 bis 1 gestreut wären, würden Sie es ebenfalls erwarten N von ihnen sich zu etwa √N addieren.

In diesem Sinne fügte Patterson hinzu N kubische Gaußsummen, wobei (vorerst) die Forderung ignoriert wird, sich an die Primzahlen zu halten. Er stellte fest, dass die Summe rund war N5/6—größer als √N (was geschrieben werden kann als N1/2), aber weniger als N. Dieser Wert implizierte, dass sich die Summen wie Zufallszahlen verhielten, aber mit einer schwachen Kraft, die sie in Richtung positiver Werte drückte, was als Verzerrung bezeichnet wird. Wie N größer und größer wurde, würde die Zufälligkeit beginnen, die Voreingenommenheit zu überwältigen, und wenn Sie sich also irgendwie alle unendlich vielen kubischen Gauß-Summen gleichzeitig ansehen würden, würden sie gleichmäßig verteilt erscheinen.

Dies erklärte anscheinend alles: Kummers Berechnungen zeigten eine Verzerrung, ebenso wie die IAS-Berechnungen, die eine widerlegten.

„Es war spannend, daran zu arbeiten, aber extrem hohes Risiko.“

Aber Patterson war nicht in der Lage, die gleichen Berechnungen für Primzahlen durchzuführen, also schrieb er es 1978 offiziell als Vermutung auf: Wenn Sie die kubischen Gaußsummen für Primzahlen addieren, sollten Sie dasselbe erhalten N5/6 Verhalten.

Kurz nachdem er einen Vortrag über seine Arbeit am Kummer-Problem gehalten hatte, wurde Patterson von einem Doktoranden namens Roger Heath-Brown kontaktiert, der vorschlug, Techniken aus der Primzahltheorie zu integrieren. Die beiden schlossen sich zusammen und veröffentlichten bald einen Fortschritt zu dem Problem, aber sie konnten immer noch nicht zeigen, dass Patterson es vorhergesagt hatte N5/6 Bias war genau für Primzahlen.

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In den folgenden Jahrzehnten gab es kaum Fortschritte. Um die Jahrtausendwende gelang Heath-Brown schließlich ein weiterer Durchbruch, bei dem ein von ihm entwickeltes Werkzeug namens Cubic Large Sieb eine wesentliche Rolle spielte.

Um das kubische große Sieb zu verwenden, verwendete Heath-Brown eine Reihe von Berechnungen, um die Summe der kubischen Gauß-Summen mit einer anderen Summe in Beziehung zu setzen. Mit diesem Tool konnte Heath-Brown zeigen, dass, wenn man die kubischen Gaußsummen für Primzahlen kleiner als addiert Ndas Ergebnis kann nicht viel größer sein als N5/6. Aber er dachte, dass er es besser machen könnte – dass das Sieb selbst verbessert werden könnte. Wenn es könnte, würde es die Schranke auf senken N5/6 genau und beweist damit Pattersons Vermutung. In einer kurzen Textzeile skizzierte er die seiner Meinung nach bestmögliche Formel für das Sieb.

Selbst mit diesem neuen Werkzeug in der Hand kamen die Mathematiker nicht weiter. Dann, zwei Jahrzehnte später, markierte eine glückliche Begegnung zwischen dem Caltech-Postdoc Alexander Dunn und seinem Vorgesetzten Maksym Radziwiłł den Anfang vom Ende. Bevor Dunn seine Position im September 2020 antrat, schlug Radziwiłł vor, gemeinsam an Pattersons Vermutung zu arbeiten. Aber während die COVID-19-Pandemie immer noch wütete, wurden Forschung und Lehre aus der Ferne fortgesetzt. Schließlich griff im Januar 2021 der Zufall – oder das Schicksal – ein, als die beiden Mathematiker auf einem Parkplatz in Pasadena unerwartet aufeinander trafen. „Wir unterhielten uns herzlich und vereinbarten, dass wir anfangen sollten, uns zu treffen und über Mathematik zu sprechen“, schrieb Dunn in einer E-Mail. Bis März arbeiteten sie fleißig an einem Beweis für Pattersons Vermutung.

„Es war aufregend, daran zu arbeiten, aber es war ein extrem hohes Risiko“, sagte Dunn. „Ich meine, ich erinnere mich, dass ich vier oder fünf Monate lang jeden Morgen um 5 Uhr morgens in mein Büro kam.“

Dunn und Radziwiłł fanden, wie Heath-Brown vor ihnen, das kubische große Sieb für ihren Beweis unverzichtbar. Aber als sie die Formel verwendeten, die Heath-Brown in seiner Arbeit aus dem Jahr 2000 niedergeschrieben hatte – diejenige, die er für das bestmögliche Sieb hielt, eine Vermutung, die die Gemeinschaft der Zahlentheorie mittlerweile für wahr hielt –, stellten sie fest, dass etwas nicht stimmte . „Wir konnten nach sehr, sehr komplizierter Arbeit beweisen, dass 1 = 2“, sagte Radziwiłł.

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An diesem Punkt war sich Radziwiłł sicher, dass der Fehler bei ihnen lag. „Ich war irgendwie davon überzeugt, dass wir im Grunde genommen einen Fehler in unserem Beweis haben.“ Dunn überzeugte ihn vom Gegenteil. Das kubische Großsieb konnte wider Erwarten nicht verbessert werden.

Bewaffnet mit der Richtigkeit des kubischen großen Siebs kalibrierten Dunn und Radziwiłł ihre Herangehensweise an Pattersons Vermutung neu. Diesmal ist es ihnen gelungen.

„Ich denke, das war der Hauptgrund, warum niemand das getan hat, weil dies [Heath-Brown] Vermutung führte alle in die Irre“, sagte Radziwiłł. „Ich denke, wenn ich Heath-Brown sagen würde, dass seine Vermutung falsch ist, würde er wahrscheinlich herausfinden, wie es geht.“

Dunn und Radziwiłł veröffentlichten ihre Arbeit am 15. September 2021. Am Ende stützte sich ihr Beweis auf die verallgemeinerte Riemann-Hypothese, eine bekanntermaßen unbewiesene Vermutung in der Mathematik. Aber andere Mathematiker sehen darin nur einen kleinen Nachteil. „Wir möchten die Hypothese loswerden. Aber wir sind trotzdem froh, ein Ergebnis zu haben, das an Bedingungen geknüpft ist“, sagte Heath-Brown, die jetzt emeritierte Professorin an der University of Oxford ist.

Für Heath-Brown, Dunn und Radziwiłł ist die Arbeit mehr als nur ein Beweis für Pattersons Vermutung. Mit ihrem unerwarteten Einblick in das kubische Großsieb brachte ihr Papier ein überraschendes Ende einer Geschichte, an der er seit Jahrzehnten beteiligt ist. „Ich bin froh, dass ich nicht wirklich in meine Arbeit geschrieben habe: ‚Ich bin sicher, dass man das loswerden kann’“, sagte er und bezog sich auf den Teil des Siebs, den Dunn und Radziwiłł als wesentlich entdeckten. „Ich sagte nur: ‚Es wäre schön, wenn man das loswerden könnte. Es scheint möglich, dass Sie dazu in der Lage sein sollten.’ Und ich habe mich geirrt – nicht zum ersten Mal.“

Titelbild: „Es stellt sich heraus, dass Gaußsche Summen magisch sind, dass sie aus Gott weiß welchem ​​Grund einfach wunderbare Dinge bewirken.“ Bildnachweis: Kristina Armitage für das Quanta-Magazin

Dieser Artikel wurde ursprünglich auf der veröffentlicht Quantenabstraktionen bloggen.

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