E.Wenn es unergründlich ist, ist Mathe schön. Die Fotografin Jessica Wynne machte sich daran, diesen Reiz einzufangen, als sie 2018 begann, die Tafeln von Mathematikern auf der ganzen Welt zu fotografieren. „Ich war schon immer daran interessiert, in Welten außerhalb meines Wissensbereichs einzutreten“, sagt Wynne. Ohne zu verstehen, was die Mathematik an den Tafeln darstellte, konnte sie sie auf rein ästhetischer Ebene schätzen. „Es ist ein ähnliches Gefühl wie bei einem abstrakten Gemälde. Aber es hat mehr Interesse geweckt, dass es jenseits der Oberfläche eine große Bedeutung und Tiefe gibt und sie versuchen, die universelle Wahrheit zu enthüllen. “
Wynne wurde zum ersten Mal in die Welt der Mathematik hineingezogen, als sie sich mit zwei Mathematikern anfreundete, die in der Nähe ihres Sommerurlaubs auf Cape Cod Urlaub machten. Als sie von ihren Forschungen erfuhr, fand sie viele Parallelen zwischen dem Prozess der Mathematik und dem Prozess der Kunst. “Ich war wirklich überrascht zu sehen, wie sie funktionieren und wie kreativ sie sind”, sagt sie.
Als Wynne begann, an verschiedene Universitäten zu reisen, um mehr Mathematiker zu treffen, entdeckte sie, wie vielfältig ihre Tafelstile sind. “Einige waren sehr sauber und ordentlich und sehr sorgfältig überlegt”, erinnert sie sich. „Und einige waren nur diese Explosion und dieses Chaos. Die Tafeln fühlten sich fast wie Porträts der Person an und hingen von der Persönlichkeit des Mathematikers ab. “
Viele der Fotos werden in einem Buch gesammelt, Nicht löschen: Mathematiker und ihre Tafeln, erscheint im Juni von Princeton University Press. Wynne beabsichtigt, das Projekt fortzusetzen, insbesondere weil ihre Reisen durch die Pandemie unterbrochen wurden. Sie hatte geplant, die mathematische Fakultät der Universität von Cambridge zu besuchen, bis sie erfuhr, dass ihre Tafeln alle durch trocken abwischbare und digitale Tafeln ersetzt worden waren. “Ich bin sehr angetan von der ganzen analogen Natur der Arbeit an einer Tafel”, sagt sie. “Ich bemerkte, dass viele Orte ihre Tafeln loswurden, und ich fühlte die Dringlichkeit, dies zu dokumentieren.”
Gemischte Gaußsche
Physikalische Messungen (wie die Größe von Frauen, die zufällig aus einer Population ausgewählt wurden) ergeben üblicherweise eine Verteilung, die als Gaußscher Wert bezeichnet wird, ein Diagramm, das wie ein abgerundeter Berg aussieht. Algorithmen für maschinelles Lernen erhalten häufig heterogene Daten (z. B. die Größe zufälliger Frauen und Männer), und eine herausfordernde Aufgabe besteht darin, die Messungen in zwei oder mehr Komponenten zu zerlegen. Ankur Moitra vom Massachusetts Institute of Technology und seine Kollegen haben einen Weg gefunden, die Kurven zu trennen, der nur die ersten sechs „Momente“ – besondere Merkmale – der Mischung erfordert. “Was ich an die Tafel gezeichnet habe, ist der Hauptbeweis in unserer Zeitung”, sagt Moitra. “Es stellt sich heraus, dass dies gleichbedeutend ist mit der Möglichkeit, zwei verschiedene Gemische zu nehmen, sie zu subtrahieren und zu zeigen, dass die resultierende Funktion höchstens sechs Mal die Nullachse kreuzt.”
Verzweigungswellen
Strichmännchenähnliche Diagramme zeigen Momentaufnahmen der Wellenentwicklung. Die weißen Linien codieren die Positionen von Peaks für eine Konfiguration von Flachwasserwellen zu einem bestimmten Zeitpunkt. “Diese Wellen haben interessante Wechselwirkungen”, erklärt die Mathematikerin Lauren K. Williams von der Harvard University. “Zum Beispiel können sich zwei Wellen treffen und nur eine Welle bilden, die herauskommt, und wenn man die Zeit variieren lässt, sieht man unterschiedliche Muster von Wellenwechselwirkungen.” Williams und ihr Mitarbeiter Yuji Kodama von der Ohio State University verwendeten die Diagramme, um Lösungen für die sogenannte Kadomtsev-Petviashvili (KP) -Gleichung zu untersuchen, die das Wellenverhalten beschreibt. Sie fanden heraus, dass die Wellenmuster, die sich aus einer bestimmten Klasse von Lösungen ergeben, durch Triangulationen eines Polygons klassifiziert werden können (in Gelb). „Wenn man die Parameter der Lösungen ein wenig ändert, können diese Wellenmuster degenerieren und beispielsweise das in der Mitte gezeigte weiße Seesternmuster bilden“, sagt sie. Unten links sehen Sie, wie Kodama und Williams ein „Go-Diagramm“ nennen, das nach dem Brettspiel Go benannt ist und mit schwarzen und weißen Steinen gespielt wird, mit denen sie bestimmte Lösungen für die KP-Gleichung untersuchen.
Spazieren gehen
Jede farbige Linie zeigt den Weg, den ein Fußgänger durch ein quadratisches Gitter in diesem „Scheitelpunktmodell“ nimmt. Die Wege der Wanderer können sich nicht überschneiden. Wenn sich also zwei treffen, müssen sie entscheiden, welchen Weg jeder gehen wird. Die Entscheidung könnte voreingenommen sein – zum Beispiel gehen Wanderer mit kühleren Farben eher nach Osten als nach Norden als Wanderer mit wärmeren Farben. „Trotz seiner einfachen Beschreibung ist sein großräumiges Verhalten kompliziert und eng mit einer Reihe mathematischer und physikalischer Phänomene verbunden“, sagt Alexei Borodin, Mathematiker am Massachusetts Institute of Technology. Vertex-Modelle können um viel mehr Gehhilfen und viel mehr Farben erweitert werden. “Eine Kombination aus täuschender Einfachheit, verborgener Tiefe und Wirksamkeit der Mathematik in der Analyse macht dieses System für mich attraktiv.” Borodin mag auch “den ästhetischen Faktor”, fügt er hinzu.
Organisiertes Chaos
Es kann Ordnung im Chaos geben, stellt sich heraus. Zwischen 1999 und 2003 entwickelten Helmut Hofer vom Institute for Advanced Study in Princeton, New Jersey, und seine Kollegen ein Feld zur Untersuchung dieser Ordnung, die so genannte symplektische Dynamik. Hofers Tafel zeigt „endliche Energieblätter“ (weiße Linien) – Werkzeuge zur Charakterisierung des Chaos in einem dynamischen System wie einem Satelliten, der sich zwischen Erde und Mond bewegt. Dieses komplizierte Oberflächensystem bezieht sich auf die Entwicklung der Position und des Impulses eines Satelliten, wenn dieser mit der Schwerkraft der beiden Planetenkörper interagiert. Hofer hofft, dass “dieses viel bessere Verständnis des Chaos letztendlich Anwendung bei der Gestaltung von Weltraummissionen finden wird”. Zum Beispiel verwendeten frühere Bemühungen Erkenntnisse über das Chaos, um Treibstoff während der Weltraumforschung zu sparen, jedoch auf Kosten der zusätzlichen Reisezeit. Hofer schlägt vor, dass diese neue Arbeit die Kraftstoffeinsparungen weiter steigern könnte, ohne die Dauer einer Mission zu verlängern.
Passende Formen
Eine Kaffeetasse und ein Donut haben bekanntermaßen die gleiche Form gemäß dem mathematischen Feld der Topologie, das Oberflächen nach der Anzahl der enthaltenen Löcher kategorisiert. Da sowohl die Tasse als auch das Gebäck ein einziges Loch haben und ohne Schnitte oder Perforationen in dieselbe Form gebogen und gedehnt werden können, sind sie topologisch identisch. In ähnlicher Weise sind die beiden mit “2” bezeichneten Flächen sowie die mit “6” bezeichneten Flächen grundsätzlich gleich. “Sie machen viel Spaß”, sagt Nancy Hingston, Mathematikerin am College of New Jersey, die in ihrer Arbeit über Differentialgeometrie Wege zu solchen Formen untersucht.
Eine Zusammenarbeit
Tafeln sind oft die besten Werkzeuge für mathematische Kollaborationen – visuelle und taktile Orte, um die Ideen und Instinkte zweier Menschen zusammenzuführen. Die Mathematiker John Terilla vom Queens College und Tai-Danae Bradley von X, der Moonshot Factory, versuchten, die verborgene mathematische Struktur in natürlicher Sprache zu verstehen. “Das war das erste Mal, dass wir über die Formalisierung dieser Struktur auf eine bestimmte Weise gesprochen haben”, sagt Terilla. „Tai und ich haben zusammen an der Tafel gearbeitet, und das zeigt unser Schreiben. Das große ‘Es existiert [denoted by ] ein Funktor F zum Beispiel gehört mir; das ‘hom (alpha, beta) in [0,1]”Darunter ist Tai’s.” Diese Forschung ist Teil einer allgemeinen Suche von Terilla nach “Was ist hinter den Kulissen am Werk, um zu verstehen, was los ist”, sagt er. “Eine Abstraktionsebene zu erklimmen, um etwas zu erklären, ist ein bisschen so, als würde man sich die Mühe machen, einen Hügel zu besteigen und sich umzusehen – nützlich für die Forschung, da es den Weg nach vorne in unbekanntem Gebiet zeigen kann.”
Dekodierungstopologie
Terilla und Bradley arbeiteten auch mit dem Mathematiker und Datenwissenschaftler Tyler Bryson an dem Lehrbuch zusammen. Topologie: Ein kategorialer Ansatz. Sie hatten besprochen, wie das Material am besten präsentiert werden kann, und ihr Board repräsentiert einige der Inhalte, die sie kommunizieren wollten. „Was dort los ist, ist keine Forschung – es ist alles Standardmathematik, die ein typischer Doktorand hat. Der Schüler würde in einem Topologiekurs lernen “, sagt Terilla.
In Bearbeitung
Die Elektrotechnikerin und Informatikerin Laura Balzano von der University of Michigan studiert mathematische Modelle für maschinelles Lernen und Signalverarbeitung. „An diesem Tag tauschten zwei Studenten, ein Kollege und ich Ideen zu verschiedenen Problemen aus“, erinnert sie sich. „Tatsächlich macht der obere linke Teil des Boards für mich jetzt wenig Sinn. Der untere rechte Teil des Boards ist etwas, an dem ich ein Jahr später noch arbeite, mit wenig Fortschritt. Ein Großteil des restlichen rechten Boards ist jetzt veröffentlicht! “ Für die Uneingeweihten ist der letzte Abschnitt der Tafel unten links vielleicht nicht unverständlicher als der Rest, aber dieser Teil, sagt Balzano, war eine Zeichnung ihrer damals 2,5-jährigen Tochter. “Kreide ist eine großartige Möglichkeit, sie zu beschäftigen – für mindestens 15 Minuten.”
Karten mit unendlichem Grad
Beginnen Sie mit einer Funktion oder f, definiert in Form einer komplexen Zahl, oder mit. Wenn eine Zahl komplex ist, bedeutet dies, dass sie eine imaginäre Komponente enthält, dh die Quadratwurzel von –1. Dann iterieren Sie die Funktion für aufeinanderfolgende Versionen von mit um die Umlaufbahn der Funktion zu erstellen. Nehmen Sie als nächstes Punkte in der Nähe von mit und schauen Sie sich ihre Umlaufbahnen an. Dieser Prozess beschreibt das dynamische System für die Funktion. Linda Keen, emeritierte Professorin für Mathematik am Graduate Center der City University of New York, interessiert sich für die dynamischen Systeme für Funktionen unendlicher Grade. “Ich habe mich für Karten mit unendlichem Grad interessiert”, sagt Keen. „Diese Bilder sollen helfen zu verstehen, was passiert, wenn Sie eine ändern f das ist unendlich viel. “
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